Hahn-Banach Theorem

释义 Definition

哈恩–巴拿赫定理：泛函分析中的一个基本定理，粗略地说，它保证在适当条件下，可以把定义在某个子空间上的线性泛函“不增大其大小地”延拓到整个空间（常见形式涉及保持有界性/范数不变或受控）。

发音 Pronunciation (IPA)

/ˌhɑːn ˈbɑːnɑːx ˈθiːərəm/

例句 Examples

The Hahn-Banach theorem allows us to extend a linear functional from a subspace to the whole space.
哈恩–巴拿赫定理使我们可以把一个定义在子空间上的线性泛函延拓到整个空间。

Using the Hahn-Banach theorem, one can separate a point from a closed convex set by a continuous linear functional in many normed spaces.
利用哈恩–巴拿赫定理，在许多赋范空间中可以用连续线性泛函把一个点与一个闭凸集分离开来。

词源 Etymology

该名称来自两位数学家 Hans Hahn（汉斯·哈恩） 与 Stefan Banach（斯特凡·巴拿赫）。它是在20世纪早期泛函分析发展过程中形成并完善的核心结果之一；“theorem”表示“定理”。（有时也会看到不同表述版本，如几何分离形式与解析延拓形式，但都以同一思想为核心。）

相关词 Related Words

• Functional
• Linear
• Subspace
• Norm
• Bounded
• Extension
• Dual
• Convex
• Separation
• Banach

文学与经典出处 Literary Works

• Stefan Banach, Théorie des opérations linéaires（1932）——泛函分析经典著作，相关思想与结果在该领域体系中占重要位置。
• Walter Rudin, Functional Analysis（第1/第2版）——标准教材，通常在早期章节系统介绍哈恩–巴拿赫定理及其推论。
• John B. Conway, A Course in Functional Analysis ——常见研究生教材，包含定理的多种形式与应用（如分离定理）。
• Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations ——在泛函分析框架与PDE应用中多次使用该定理相关结论。